Wird eine reduzible Darstellung durch Herumprobieren als Summe von irreduziblen Darstellungen erkannt, dann gibt es keine zweite Möglichkeit und die Reduktion ist gelungen. In komplizierteren Fällen ist es sinnvoller, rechnerische Reduktionsverfahren zu nutzen. Eines geht so: Sie multiplizieren die Zahl vor einer Symmetrieoperation (ni), zum Beispiel die „2“ vor 2C3 mit den Charakteren in der Spalte. So wird aus
| C3v | E | 2C3 | 3σv |
|---|---|---|---|
| A1 | 1 | 1 | 1 |
| A2 | 1 | 1 | −1 |
| E | 2 | −1 | 0 |
die folgende Tabelle:
| C3v | E | 2C3 | 3σv |
|---|---|---|---|
| ni × A1 | 1 | 2 | 3 |
| ni × A2 | 1 | 2 | −3 |
| ni × E | 2 | −2 | 0 |
Um nun zum Beispiel Γvib 6 0 2 zu reduzieren, multipliziert man die Zahlen in jeder Zeile mit 6 0 2 (allgemein χi), also die erste mit χ1 = 6, die zweite mit χ2 = 0 und die dritte mit χ3 = 2. Anschließend addiert man zeilenweise und dividiert das Ergebnis durch die Summe der Werte für ni (1 + 2 + 3 = 6). Jetzt sieht die Tabelle so aus:
| C3v | E | 2C3 | 3σv | Summe | × 1/6 |
|---|---|---|---|---|---|
| ni × χi × A1 | 6 | 0 | 6 | 12 | 2 |
| ni × χi × A2 | 6 | 0 | −6 | 0 | 0 |
| ni × χi × E | 12 | 0 | 0 | 12 | 2 |
Die letzte Spalte gibt nun an, wie oft die jeweilige Rasse in der reduziblen Darstellung enthalten ist, Γvib transfomiert also wie 2 A1 + 2 E, A2 kommt nicht vor.
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